Blog

Blog

수학적 문제 해결론

과학자들이 문제를 해결하는 방법은 보통 가설로 세우고 이 가설을 증명하는 것일 것이다. 아직 모르는 현상에 대해 ‘혹시 이럴 수 있지 않을까?’ 하는 생각으로 연구를 진행하고 그것이 수학적 증명이나 실험의 결과가 가설과 일치한다면 가설이 증명되는 것이다. 지금까지 인류문명 중 놀라운 발견도 이와 비슷한 방식으로 증명됐다는 것을 알 수 있다. 뉴턴의 만유인력 법칙(1687년)[1]이나 아인슈타인의 상대성이론(1905년)[2] 등도 지금으로부터 아주 오래전 실험적으로 정밀하게 증명할 수 없는 현상임에도 불구하고 그들은 가설을 세웠고 다른 현상과 맞추어 가설이 맞을 수 있다는 생각을 점차 하게 되었고 비로소 최근에 그 가설이 맞는다는 것을 실험적으로 증명된 바 있다. 따라서 나는 어떤 새로운 현상을 발견하고 그 문제를 풀기 위해서는 가설을 세우는 것이 문제 해결의 시작이라고 생각한다.

나는 엉뚱한 가설을 자주 세운다. 지하철을 타고 출퇴근하거나 길을 걷다가 마치 과학자들이 하는 것처럼 생각하곤 한다. 생각하는 주제는 컴퓨터 사이언스 분야에 관한 것도 있고 일상생활에 관한 것도 있다. 하지만 아쉽지만, 더 발전시키지 못하고 보통 가설 단계에서 머무르고 만다. 나는 왜 다른 과학자들처럼 생각도 하고 가설도 세우는데 그들처럼 놀라운 발견은 하지 못하는 것일까? 혹시 지적 생명체의 필수 요소라고 말하는 수학적 사고를 못 하기 때문은 아닐까? 하는 의문이 들었다. 이런 이유로 이 글은 과학적이지 못한 나 자신을 위해 앞으로 좀 더 과학적인 사고와 문제 해결 능력을 키우기 위해 정리한 글이다.

그래서 나는 수학적 사고를 위한 방법을 좀 찾아봤다. 찾아보니 수학적 사고를 하기 위해서는 문제가 무엇인지를 아는 것이 가장 중요하다고 한다. 당연하겠지만 문제를 제대로 이해하는 것이 무엇보다 중요하다. 그럼 우리가 흔히 생각하는 문제와 문제 해결이란 무엇을 말하는 것일까? 내가 조사해본 내용과 내 나름대로 생각을 종합해서 내린 문제의 정의는 어떤 쉽게 해결하기 어려운 목표가 있고 이 목표를 해결하기 위해서 생각하는 시간이 필요한 것들을 모두 문제라고 정의할 수 있을 것 같았다. 때로는 생각하는 시간이 아주 오래 걸릴 수도 있고 때로는 아무리 오랜 시간 생각을 해봐도 그 문제를 풀 수 없는 경우도 있을 것이다. 따라서 문제 해결은 자연스럽게 바로 이런 목표에 도달한 것이라고 정의할 수 있었다.

문제는 여러 유형으로 나눌 수 있다. 쓸데없는 구분 같아 보이지만 문제를 해결하는 전략을 수립할 때 그 문제가 어떤 유형인지 알 수 있다면 전략도 달라질 것이고 해결 방법도 유형을 모를 때보다 쉬울 것이다. 그래서 예전부터 많은 사람이 문제의 유형을 정의하였었는데 그 중 Krulick & Rudnic는 단순한 회상만으로 해결되는 문제 유형을 정의했었다. 이는 그냥 암산이나 이미 학습된 알고리즘으로 해결이 가능한 문제를 말한다. George Polya는 결정 문제 유형에 관해 얘기하였었고 문제 해결방법은 계획, 이해, 실행, 반성의 절차를 거쳐야 한다고 주장하였다. Erkki Pehkonen는 반드시 답이 하나인 문제와 문제 자체의 답의 존재성이나 진위 가능성이 결정되지 않는 유형을 정의하였다.

그리고 어떤 문제를 해결하기 위해서는 자원(resource), 발견술(heuristic), 통제력(control)이 필요하다. 여기서 자원은 그냥 지식으로 생각할 수도 있는데 문제와 관련된 수학적 지식 배경이나, 알고리즘 그리고 때로는 직관을 말한다. 지식과 알고리즘은 당연하다고 생각하지만, 직관이라는 것이 이해가 안 될지도 모르겠지만 생각해보면 직관을 이용해 더욱 쉽게 문제가 해결되는 경우를 주변에서 어렵지 않게 찾아볼 수 있다. 최근 인공지능인 알파고와 인간의 바둑 대결에서 인공지능은 인간의 직관을 흉내[3]내 승리한 바 있다. 또 러시아가 우주 개발을 할 때 직관과 경험적인 부분이 많이 포함돼 있었기 때문에 그 당시 미국보다 더 안전하기 우주선을 개발할 수 있었다는 얘기도 있고 과학자들이 쓰는 경험 상수도 직관과 경험에 의한 것으로 이 방법이 실제 과학적인 접근보다 더 정확한 경우도 있었다.

이런 자원을 활용한 다음 문제를 해결하기 위해서는 발견술이란 능력이 필요한데 파푸스(Pappus)는 “발견술이란 원론을 공부한 후에 수학 문제를 푸는 능력을 얻고자 하는 사람들이 사용하도록 하기 위한 특별한 가르침이며 오직 이것에만 쓰일 수 있다.” 라고 말한 바 있다. 그리고 데카르트는 모든 문제를 해결할 수 있는 보편적인 방법을 모색했고 어떤 문제이든 수학 문제로 환원하라는 등의 어려운 말을 했다. 하지만 내가 이 부분을 모두 이해하기는 어려워서 더 깊게는 보지 않고 건너뛰었다. 무엇보다 현재 나에게는 자원 즉, 지식이 더 필요해 보였다.

하지만 자원과 발견술만 가지고는 문제를 해결하는 데는 부족함이 있다. 마지막으로 필요한 것이 바로 통제력이다. 통제력은 자원과 발견술을 효과적으로 이용할 수 있는 능력을 말한다.

이러한 문제 해결 능력이 갖춰져 있다면 이제 문제를 풀 차례이다. 문제를 푸는 과정은 보통 문제를 이해하고, 계획을 작성하고 그 계획을 실행하고 결과를 검증하는 순서라고 한다. 문제를 이해하는 단계에서는 문제에서 구하고자 하는 것, 주어진 것 등을 알고, 용어의 뜻을 파악하며, 문제를 분석해야 한다. 미지의 것(구하고자 하는 것)은 무엇인가?  주어진 것은 무엇인가?  조건은 무엇인가?  조건은 미지의 것을 구하기에 충분한가? 불필요한 조건은 없는가?  등의 조건으로 분해해 봐야 한다.

계획 작성하는 단계에서는 문제에서 주어진 것과 구하고자 하는 것 사이의 관계를 파악하는 단계로써 주어진 것과 구하고자 하는 것 사이의 관련성을 즉각적으로 발견할 수 없을 때는 보조 문제도 고려할 필요가 있다.  전에 그 문제를 본 적이 있는가?  약간 다른 형태로 된 같은 문제를 본 적이 있는가?  관련된 문제를 알고 있는가?  도움이 될 것 같은 어떤 사실이나 정리를 알고 있는가를 확인하여야 한다.

그러고 나서 미지인 것을 잘 살펴보아야 한다. 친숙한 문제 중 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보는 것도 좋다.  관련된 문제로 전에 풀어본 적이 있는 문제가 있다면 그 결과나 방법을 이 문제 해결에 활용할 수는 없을지 생각해보자. 문제를 달리 진술할 수 있는지 그리고 어렵다면 다시 정의로 되돌아가 보는 것도 도움이 된다. 용어의 정의가 무엇이었는지 다시 생각해 보는 것도 좋다.

문제와 관련된 보다 쉬운 문제를 생각해 낼 수 있지, 문제를 보다 일반적인 형태로 변형할 수 있을지, 문제를 보다 특수한 문제로 변형할 수 있을지, 문제를 부분적으로 풀 수 있는지, 조건 가운데 일부분만 남기고 다른 것을 버려보는 것도 문제를 푸는 방법이다. 그렇게 하면 미지인 것은 어느 정도까지 정해지는지, 자료로부터 무엇인가 유용한 것을 끌어낼 수 없을지, 미지인 것을 결정하는데 적절한 다른 자료를 생각해보고 자료는 모두 사용했는지, 조건은 모두 사용 했는지 문제에 포함된 핵심 개념을 모두 고려했는지를 확인할 수 있다.

계획의 실행하는 단계에서는 해결 계획을 실행하는 단계풀이 계획의 각 단계를 조심스럽게 실행해보고 각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는지 그리고 그것이 옳다는 것을 증명할 수 있는가를 생각해보는 단계이다.

마지막으로 반성 및 결과 검증 단계이다. 풀이 과정을 점검해 보고 결과를 다른 방법으로 끌어낼 수 있는가를 생각해보는 것이다. 기존 풀이보다 더 나은 해법은 없는지, 결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용할 수 있는지, 문제의 자료, 조건, 구하고자 하는 것 등을 일반화, 특수화, 유추 등을 통해 변형하여 새로운 문제를 만들어볼 수는 없는지 등을 생각해 보아야 한다. 지금까지 수학적 문제 풀이과정에 관해 설명했는데 내가 당장 이것을 모두 암기한다고 해서 수학적 사고가 길러지지는 않을 것 같다. 어떤 문제를 접했을 때 수학적 해결 과정을 염두에 두고 반복을 통해 내 것으로 만드는 시간이 필요하다.

참고문헌

[1] 만유인력의 법칙, https://ko.wikipedia.org/wiki/만유인력의_법칙
[2] 상대성이론, https://ko.wikipedia.org/wiki/상대성이론
[3] 더 강력해진 알파고…인간의 '직관'도 모방해 학습, http://www.yonhapnews.co.kr/bulletin/2016/03/08/0200000000AKR20160308133500017.HTML


'미스터 노올'을 읽고 '맥스 캘라다'가 되어 아내에게 쓰는 편지

나의 아내 보시오.

샌프란시스코의 날씨는 어떻소? 지금 쯤 맑고 청아한 하늘을 볼 수 있을 텐데,  그 하늘을 혼자 보게 해서 미안하구려. 나같이 세계 이곳 저곳을 다니며 일하는 남편을 만나 당신이 외로운 날들이 많겠소. 미안하구려. 여기 요코하마는 참 아기자기한 도시요. 아마 당신도 함께 왔다면 좋아 했을 텐데, 다음 번엔 꼭 같이 옵시다.

샌프란시스코에서 요코하마까지 오는 배 안에서 참 재미있는 일이 있었지 뭐요. 배 안의 모든 사람들은 내 유쾌한 유머에 다들 매료되었는데, 나와 선실을 같이 쓴 그 영국인은 참 나를 냉소적으로 보더군. 그렇지만 나는 그가 꽤 맘에 들었소. 그는 짙은 갈색 눈의 영국인스러운 모습이었는데, 태도 역시 영국인스럽게 우월주의적이더군. 나는 세계 여러 곳을 돌아다니며 여러 사람들을 대해봤던 터라 그런 태도에 나는 이제 콧방귀도 안뀌게 되었지 뭐요.

여행이 시작되고 며칠 뒤 저녁이었지. 나와 그 영국인 그리고 미국인 램지와 그의 부인이 함께 저녁식사를 하고 있었소. 이 미국인은 곱슬머리에 주근깨가 많이 있고, 이죽거리는 사람이었소. 반면 램지 부인은 얌전하고 아직 소녀 티를 못 벗은 듯한 모습이 였소. 물론, 실제로 소녀는 아니었지만 말이오. 솔직히 이 둘은 별로 어울리지도 않았소. 우리는 일본의 이미테이션 진주에 대해 이야기를 나누고 있었소. 당신도 알다시피 내가 이쪽에는 지식이 많잖소? 그런데 이 미국인 램지가 도저히 내 이야기를 받아들이지 않는 것이오. 더군다나 내 앞에서 본인 말이 맞다고 하지 않겠소? 그래서 나는 할 수 없이 내가 요코하마에 가는 이유를 밝히고 램지 부인이 하고 있던 목걸이의 가격을 맞췄소. 그 목걸이는 참 값진 목걸이더군. 그런데 이 미국인은 그 목걸이가 싼 이미테이션인 줄 알고 있었지 뭐요. 참 사람은 겉모습을 보고는 알 수 없다더니 램지 부인은 참 검소한 모습이었는데 그렇게 비싸고 값진 목걸이를 하고 있을 줄이야. 더군다나 남편 몰래 말이오. 내 성질 같아선 확 진실을 말하고 싶었지만, 이 작고 걱정 가득한 램지 부인이 안쓰러워 도저히 진실을 말할 수가 없었소. 우리는 이 목걸이 가격을 가지고 백달러 내기를 하고 있었는데, 난 그냥 백달러를 줘버렸소. 그렇다고 누가 자신이 바보로 보이는 것이 괜찮겠소? 그렇지만 아무래도 진실을 알면 이 미국인이 자기 부인을 가만두지 않을 거 같아서 그랬소.

다음날 아침, 내 선실 문 밑으로 작은 봉투가 들어왔소. 열어보니 백달러 짜리 지폐가 들어 있는 게 아니겠소? 아무래도 램지 부인이 미안했던 모양이오. 그 봉투를 보고 나와 함께 선실을 쓰던 영군인도 나에 대해 다시 보는 것 같았소. 이 후 나와 영국인은 많이 이야기를 주고 받으며 요코하마까지 왔소. 우리는 이번 여행을 마치고도 편지로 계속 연락을 주고 받기로 했소. 나는 그가 참 좋았소.

사랑하는 나의 아내여. 이번 일을 마치고 좋은 소식을 들고 당신께 돌아가고 싶구려. 그때까지 기다려 주시오.

당신의 남편 맥스 캘라다


인력관리에 대한 고민 (내가 만약 사장이라면...)

Core Value

품질

"우리는 제품의 품질을 최우선으로 생각한다."
제품의 품질은 사용자의 만족도와 직결된다. 아무리 좋은 제품도 그 제품을 원하는 사용자가 없 다면 아무 소용없기 때문이다.

혁신

"우리는 매일 같은 방식으로 일하지 않는다."
늘 하던 방식이 아닌 혁신으로 시장을 선도해야 한다. 소프트웨어 특히 소프트웨어와 교육이 융 합된 분야는 아직 전통적인 방식에서 부터 많은 혁신을 보이지 못하고 있다고 생각한다. 따라서 혁신을 핵심 가치로 선택하였다. 혁신은 기업의 성패를 좌우할 수 있는 중요한 요소이다.

전문성

"우리는 소프트웨어의 전문가이다."
소프트웨어 개발의 전문 지식을 가지고 최고의 서비스를 만들 수 있는 것을 말한다. 전문성이 없 이는 기업과 고객이 원하는 어떠한 제품도 만들 수 없고 어떠한 것도 이룰 수 없기 때문이다.

행복

"우리는 행복을 추구하며 고객에게도 그 행복을 나눈다."
직원의 행복이 기업의 행복이 된다. 직원들은 가장 많은 시간을 회사에서 보내게 되는데 이 시간 이 행복하지 않으면 그 사람 인생은 전체적으로 행복할 수 없다. 직원들이 행복하고 즐겁게 일할 수 있는 환경을 만들어주는 것이 중요하기 때문이다.

HRM

팀워크가 중요

팀워크는 조직에서 가장 중요하고 이를 잘 이끌 수 있는 인재가 필요하다. 특히 직원들에게 공통 의 목표를 제시할 수 있도록 노력하는 것이 중요하다. 상명하복 식의 목표를 설정하는 것보다 직 원들 모두가 공감할 수 있고 동기를 부여할 수 있는 목표를 설정해야만 직원들의 행동은 물론 마음까지도 움직이게 할 수 있기 때문이다.

인력확보는 상시 채용으로

인력확보는 상시 채용으로 진행한다. 인력이 필요할 경우 급하게 채용하다보면 원하는 인재를 채 용하기 어렵기 때문이다. 따라서 상시 채용으로 진행하고 좋은 인재가 있다면 당장 필요하지 않 아도 채용한다. 조직에서 가장 어려운 것은 사람과의 관계 때문인데 인력을 채용할 때 기존 직원 을 보호하고자 여러 차례 검증과정으로 각별히 노력해서 채용해야 한다.

모든 직원이 리더십을

팀장 및 임원만이 리더십이 필요한 것이 아닌 직원 모두가 리더십을 발휘할 수 있는 인재로 키운 다. 회사가 성장하고 조직이 커졌을 경우 리더십은 각자의 조직에서 또 다른 리더로 능력을 발휘 할 것이다. 권위적이고 강력한 리더십 대신 소통과 공감의 소프트한 리더십을 강조하는 인재 상 을 강조해야 한다.

평가 및 보상은 공정하게

평가는 공정하게 하고 보상은 반드시 하는 것을 원칙으로 한다. 비금전적 보상을 적극 활용하고 공정성을 강화한다. 회사 재정이 한정적인 상황에서 모든 것을 금전적으로 해결하는 데에는 한계 가 있기 때문이다. 따라서 인정과 칭찬, 격려와 같은 비금전적 보상으로 내재적 동기부여를 강화 하는데 힘써야 한다.

직원들의 행복을 생각

회사는 일정수준 이상 직원이 성장하게 된다면 직원의 비전과 회사의 비전과 동일하게 맞출 수 있게 도와주는 시스템을 작동시켜야 한다. 구성원들의 행복은 기업에 더 높은 생산성과 수익을 실현해 줄 것이기 때문이다.

The Steps of the Recruiting Process

서류 – 필기시험 - 팀 면접 – 임원면접

서류

기본적인 자질을 확인하기 위한 도구로 서류 전형을 사용한다. 이를 활용해 회사와 지원자 모두 불필요한 시간을 절약할 수 있다. 서류를 통해서 회사에 적합할 가능성이 있는 인재를 선별하려 고 노력한다. 필요한 직무의 기본소양 (전공 등)은 서류 전형에서만 확인하고 외모 및 개인적인 다른 사항은 확인하지 않으며 서류 전형이 통과한 이후 전형에서는 이미 확인한 내용은 문제 삼 지 않는다.

필기시험

서류를 통과한 사람을 기준으로 필기시험을 실시한다. 필기시험을 통해서 기초 소양을 평가한다. 이는 서류전형이 지나치게 학력과 스팩 위주가 될 것을 견제하고 어느 정도 자질이 있다고 판단 되는 사람들에게 공정한 기회를 주기 위함이다. 필기시험은 채점자의 주관이 개입될 수도 있는 서술형 보다는 객관식과 단답형 주관식 위주로 출제하고 채점자에게는 지원자의 개인 정보를 제 공하지 않아야 한다.

팀 면접

필기시험을 통과한 사람을 대상으로 실제 입사 후 같이 근무하게 될 팀원 또는 팀장과의 면접을 실시한다. 이 면접에서는 특히 인사담당자가 가져야할 유연성, 창의성 및 다양성 등을 검증하고자 한다. 팀 면접을 실시하는 이유는 같은 팀의 직원들이 같이 일하고 싶은 사람을 뽑는 것이 기존 직원을 보호하기 위한 최선의 방법이라고 생각하기 때문이다. 따라서 아무리 뛰어난 인재라고 평 가되는 사람이라 할지라도 내부 또는 해당 팀의 직원이 반대하는 사람은 뽑지 않아야 한다.

임원면접

최종적으로 임원 면접을 실시한다. 회사의 CEO를 포함해 경영진이 참석한 자리에서 면접을 진행 한다. 이 면접에서는 기술적인 질문보다는 인성 및 회사 전체 조직에 적합한 인재인지를 판단하 고자 노력한다. 임원들은 지원자의 비전, 가치 등이 회사와 부합하는지 등을 종합적으로 판단하여 선발한다.

Feedback

작성하신 내용과 같이 인사관리는 기업의 존재이유인 미션과 장기적 비전과 핵심가치(조직문화)를 바탕으로 설계되어야 하며, 이러한 틀 내에서 인재상이 도출되며, 인재상은 인사관리의 기본이며 출발점이라고 할 수 있습니다. 따라서, 미션/비전, 핵심가치, 인재상이 연계될 수 있는 인적자원관리의 프로세스가 필요합니다.

면접에 필요한 질문 내용을 인성에서 성과측정까지 다양한 측면에서 필요한 요건을 잘 정리하셨습니다. 좀더 체계적이고 이론적인 측면에서 면접을 하는데 있어 질문에 구성해 보야할 사항은 개인-직무 적합성(Person-Job Fit) 관련 항목: 지식(Knowledge), 능력(Abilities), 기술(Skills), 동기(Motivation) 및 개인-조직 적합성(Person-Organization Fit) 관련 항목: 인성(character), 성격(personality), 목표의식(Goals), 가치관(Values), 대인관계능력(Interpersonal skills)이라 할 수 있습니다. 이러한 기준에서 살펴본다면 어떤 질문 항목들이 필요한지 고민해 보시기 바랍니다.




Subscribe to: Posts (Atom)